后验概率

你需要为阳性检测结果担心吗?

Posted by Xiaozhe Yao on September 7, 2020

假设在人群中有一种疾病,每1000人会有一人不幸患上这种疾病。在医院中有相应的检测技术,若患者$A$有这种疾病,那么有$95\%$的可能这种技术会返回阳性结果,$5\%$的可能返回阴性结果。对应地,若被检测的人没有这种疾病,该检测技术仍有$5\%$的可能返回阳性结果,但$95\%$的情况下都是阴性结果。

现在某疑似患者在医院检测出了阳性结果,那么他真实患有这种疾病的概率是多少呢?直觉上来说,这种技术的检测还是比较准确的,如果检测是阳性,很多人会认为自己很有可能患有这种疾病,甚至已经是确诊了。我们从概率的角度来分析这一问题,看看我们的“直觉”是否正确。

我们用事件$H$表示患病,$P$表示检测阳性,用$\overline{H}$表示没有患病,$\overline{P}$表示检测阴性。那么该患者在检测阳性的前提下真实患病的概率即为:$P(H A)$。